【The Conversation】 ｢hello there the jacobian conjecture is false thanx｣：たった1つのSNS投稿が数学者たちにAIの再考を促している理由
今週初め、何百万人もの人々がFIFAワールドカップ決勝戦の興奮から落ち着きを取り戻しつつある中、数学界ではまた別の興奮が高まっていた。
人工知能(AI)企業Anthropicに所属する数学者レヴェント・アルポゲ(Levent Alpöge)氏は、X上でごくさりげなく、代数幾何学という数学分野における非常に古くからある有名な問題である｢ヤコビアン予想｣の反例を見つけたと発表した。同氏は、わずか数週間前に一般公開されたばかりのAnthropicの大規模言語モデル｢Claude Fable 5｣を用いてこの成果を成し遂げた。
hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final
— levent (@__alpoge__) July 20, 2026
((1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x - 3 x^2 y - x^3 z): \C^3\to \C^3,...
これは、大規模言語モデルを活用する数学者たちによってもたらされた数多くの画期的な数学的ブレークスルーの、あくまで最新の事例に過ぎない。しかし、今回の成果はこれまでのものとは少し異なる印象を与える。
ヤコビアン予想とは何か
まず、｢予想｣とは何か。これは、一部の数学者が真であると考えているものの、これまで誰も証明も反証もできていない仮説のことである。
では、ヤコビアン予想とは何か。かなり抽象的だが、説明するのはそれほど難しくない。
この予想には関数が関わっている。関数とは、1つ以上の数値を入力すると、ある規則や方程式に従って別の数値を出力する、いわば小さな機械のようなものだ。この場合、関数は｢多項式｣と呼ばれるものを用いる。
具体的には、その数が空間内の点、例えば地図上の座標を表しているような状況を扱う。つまり、関数がいくつかの数を受け取り、別の数を出力するとき、空間内の点を移動させていると想像できる。
関数が空間内のあらゆるものをどれほど｢滑らかに｣移動させるかを調べるには、ヤコビアン行列式と呼ばれるものを計算すればよい。もしヤコビアン行列式が常にゼロではない定数であるならば、その関数は特定の点周辺の空間を折り曲げたり押しつぶしたりすることは決してない。
ヤコビアン予想は、ヤコビアン行列式が0でない定数である場合、元の関数を逆転させる別の関数(これも多項式で構成される)が常に存在するはずだと述べる。これにより、すべての点が元の位置に戻る。
すべての関数が可逆であるとは限らない。例えば、ある関数が元の2つの点を1つの点に重ね合わせてしまう場合、それを元に戻すことはできない。一度点が重なり合ってしまえば、それらを区別して正しい位置に戻すことはできないからだ。
長い試行と失敗の歴史
ヤコビアン予想の2次元版は、1884年にチェコの数学者ルートヴィヒ・クラウス(Ludwig Kraus)氏によって提唱された。1939年には、ドイツの数学者オット＝ハインリヒ・ケラー(Ott-Heinrich Keller)氏によって、任意の次元へと一般化された。
この予想は極めて説得力があると考えられ、フィールズ賞受賞者のスティーブン・スメール(Stephen Smale)氏は、1998年に発表した｢次世紀の数学問題｣リストにこれを盛り込んだ。
その長い歴史の中で、ヤコビアン予想は、20世紀の著名な数学者であるベニアミノ・セグレ(Beniamino Segre)氏やヴォルフガング・グレーブナー(Wolfgang Gröbner)氏を含む、多くの｢証明｣の主張の対象となってきた。しかし、いずれの場合も、議論を無効にする微妙な誤りが発見された。
それにもかかわらず、様々な制限を課した条件下でこの予想が成立することを示す、妥当な試みも数多く行われてきた。また、計算結果からは、2次元において次数100までの多項式(すなわち、変数の累乗が100までのものを含む)については、この予想が成立することが示されている。
しかし、一般の場合について証明した者も、この予想が誤りであることを示す例を見つけた者も、これまで誰もいなかった。
一見単純に見える答え
ヤコビアン予想がこれほど興味深い主な理由の一つは、理論上、反例を見つけるのは容易であるはずだということだ。点を融合させる関数の例や、ヤコビアンの行列式が定数となる多項式写像の例を思いつくのは簡単である。
しかし、この両方の性質を兼ね備えた多項式写像を見つけることは難題である。実際、あるMath Stack Exchangeのユーザーが2017年の投稿で指摘したように、｢現時点で我々が知っている限りでは、頭の切れる学部生なら誰でも、この予想の反例となる式を簡単に導き出せる｣だろう。
実際、アルポゲ氏の関数についてはまさにその通りとなった。この関数は、Xへの投稿1件に収まるほど短いものである。同氏は、3次元においてヤコビアン行列の行列式が-2で一定であり、かつ複数の入力点を同じ出力点に移動させる(したがって可逆ではない)関数の例を発見した。
これにより、2次元を超えるすべての次元においてこの予想が誤りであることが示され、2次元における元の予想は未解決のまま残された。反例が簡潔であったため、他の数学者たちも容易に検証することができた。
相次ぐ画期的な進展の最新例
アルポゲ氏の発見は、大規模言語モデルによってもたらされた一連の注目すべき数学的ブレークスルーにおける最新の成果である。最近の例としては、OpenAIによる「単位距離予想」の反証や、23歳のアマチュア数学者リアム・プライス(Liam Price)氏によるエルデシュ問題1196の証明などが挙げられる。
これらの例はいずれも、AIモデルの最も際立った強みの1つを如実に示している。AIモデルは、数学の異なる分野からのアイデアを取り入れ、それらを斬新な方法で組み合わせることで、驚くべき結果を証明することができるのだ。
本稿執筆時点では、アルポゲ氏がAIモデルにどのようなプロンプトを与えてヤコビアン予想の反例を生成させたのか、またその出力内容がどのようなものだったのかについての詳細は公表されていない。しかし、現時点では、この結果は他の事例とは性質が異なるもののように見える。
最近の他の多くのAIを活用した画期的な成果とは異なり、この反例自体は驚くほど単純である。これを見つける難しさは、複雑な構成や長大な証明にあるのではなく、適切な性質を持つ多項式写像を見つけるために、膨大な探索空間をうまく探索する方法を見出すことにあったようだ。
このことは、AIが証明の構築と同様に、予期せぬ数学的対象の発見においても有用である可能性を示唆している。これが数学の未来、そして人間の数学者たちにとって何を意味するのかは、未知数である。
(2026年9月3日公開)
著者： Melissa Lee（モナッシュ大学数学学部上級講師）
原文記事(外部サイト)：
本記事は、2026年7月22日にThe Conversationに掲載後、著者の許諾を得て再構成したものです。掲載された記事、写真の無断転載を禁じます。
